bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen a b 2 × 2 kruistabel , met c d − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Voedingsmiddelen
Voedingsmiddelen worden in China steeds duurder. Om de prijzen over
de jaren heen te kunnen vergelijken, worden ze vaak vergeleken met de
prijs in een bepaald basisjaar. In deze opgave is het jaar 2000 het
basisjaar. De prijs van een voedingsmiddel, bijvoorbeeld vis, duiden we in
dat basisjaar aan met het getal 100. We zeggen: het indexcijfer van vis is
in 2000 gelijk aan 100. In de figuur zie je dat het indexcijfer van vis
in 2010 gelijk is aan 104. Dat betekent dat in 2010 vis
keer zo
duur is als in 2000. Anders gezegd: in 2010 was vis 4% duurder dan
in 2000.
figuur
In de periode 2006 – 2010 is het indexcijfer van vlees met 9 gestegen.
Dat hoeft niet te betekenen dat de prijs van vlees met 9% is gestegen.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met hoeveel procent de prijs van vlees in deze periode dan wel
is gestegen. Rond je antwoord af op een geheel getal.
De grafiek van het indexcijfer van groenten in de periode 2005 – 2010 is
bij benadering een rechte lijn. Je kunt op basis van de indexcijfers van
2005 en 2010 het indexcijfer van groenten in 2021 schatten door middel
van lineair extrapoleren.
23pLineaire functies 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken op deze manier het indexcijfer van groenten in 2021. Rond je
antwoord af op een geheel getal.
Niet alleen de prijzen van vlees, vis en groenten zijn gestegen. Ook de
consumptie van deze voedingsmiddelen is gestegen.
Zo is bijvoorbeeld de gemiddelde jaarlijkse vleesconsumptie per persoon
in China in de periode 1985 – 2005 verdrievoudigd tot 45 kg. Neem aan
dat deze groei exponentieel verliep.
34pExponentiële functies en groei 4p
Bereken met hoeveel procent per jaar deze gemiddelde jaarlijkse
vleesconsumptie per persoon in de periode 1985 – 2005 toenam. Rond je
antwoord af op een geheel getal.
opgave 2Besmettelijke ziektes
Sommige ziektes zijn besmettelijk. Als je aan zo’n besmettelijke ziekte
lijdt, kun je gezonde personen besmetten, waardoor die ook ziek worden.
Van veel ziektes is bekend hoe groot het gemiddelde aantal (gezonde)
personen is dat door één zieke wordt besmet. Dat gemiddelde aantal
noemen we B. Zo geldt bijvoorbeeld voor de ziekte griep: B = 2,2.
In deze opgave maken we de volgende aannames:
− Iemand die ziek wordt, is precies één week ziek. Daarna is hij weer
gezond (maar kan vervolgens wel weer ziek worden). Alleen in die ene
week dat hij ziek is, besmet hij andere personen.
− Wie besmet wordt, zal pas in de week erna ziek zijn.
Stel bijvoorbeeld dat in week 50 van een bepaald jaar één persoon een
ziekte heeft met B = 3. In week 51 zal die persoon weer gezond zijn, maar
zullen drie andere personen ziek zijn. In week 52 zullen er negen andere
personen ziek zijn, omdat elk van de drie zieken van week 51 drie andere
personen heeft besmet.
In de praktijk besmet een zieke vaak minder personen dan het
gemiddelde aantal B, omdat tegen een aantal ziektes vaccins zijn
ontwikkeld. Als je met zo’n vaccin bent ingeënt, kun je de ziekte niet meer
krijgen. Vaccinatie van een deel van de bevolking leidt ertoe dat het
gemiddelde aantal personen dat door één zieke wordt besmet, kleiner is
dan B. We noemen dit gemiddelde aantal Bv.
Dus:
− B is het gemiddelde aantal personen dat besmet wordt door één zieke
als niemand gevaccineerd zou worden.
− Bv is het gemiddelde aantal personen dat besmet wordt door één
zieke als er sprake is van vaccinatie van een deel van de bevolking.
In deze opgave gebruiken we de volgende formule om Bv te bepalen:
(formule 1)
Hierin is p de vaccinatiegraad: het percentage van de bevolking dat
tegen de ziekte is gevaccineerd.
Bij elke ziekte zorgt een hogere vaccinatiegraad ervoor dat een kleiner
aantal personen besmet wordt.
43pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Beredeneer dit aan de hand van formule 1, zonder getallenvoorbeelden te
gebruiken.
Een situatie waarbij Bv groter is dan 1, is onwenselijk: in zo’n geval zal
het aantal zieken elke week groter zijn dan het aantal zieken in de week
daarvóór. We zeggen dan: de ziekte breidt zich uit.
Voor griep geldt B = 2,2.
53pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken met behulp van formule 1 hoe hoog de vaccinatiegraad tegen
griep minimaal moet zijn om ervoor te zorgen dat deze ziekte zich niet
uitbreidt. Rond je antwoord af op een geheel getal.
Van de Nederlandse bevolking heeft 14% zich laten vaccineren tegen
griep. Stel dat er 1000 personen in week 40 griep hebben. Je kunt
berekenen hoeveel personen met griep er in week 46 zullen zijn. Dat
aantal is minder dan wanneer niemand tegen griep zou zijn gevaccineerd.
74pFormules herleiden en omwerken 4p
Laat deze herleiding zien.
De ziekte mazelen is veel besmettelijker en gevaarlijker dan griep. Als
niemand zich laat vaccineren, besmet één persoon met mazelen
gemiddeld 20 andere personen.
In de figuur is van verschillende landen in de Europese Unie de
vaccinatiegraad tegen mazelen weergegeven.
figuur 
Denemarken
opgave 3Rookgedrag van leerlingen
Sinds de jaren tachtig meet het Trimbos-instituut regelmatig via een
enquête het gebruik van alcohol, drugs en tabak in aselecte,
representatieve steekproeven onder alle leerlingen van het voortgezet
onderwijs. Ook werd de leerlingen in de enquête gevraagd naar hun
leeftijd (in jaren), hun geslacht (jongen, meisje), en hun schoolniveau
(vmbo, havo, vwo).
Aan de enquête van 2015 deden 6714 leerlingen mee in de leeftijd van
12 tot en met 16 jaar. In deze groep is onder andere gekeken naar de
lifetime-prevalentie van roken. Hieronder staat wat dit begrip betekent:
Zie tabel 1.
tabel 1 lifetime-prevalentie van roken
In tabel 1 zie je dat van de leerlingen in de steekproef 23%, bijna een
kwart, rookt of ooit gerookt heeft.
Op basis van bovenstaande gegevens kun je het
95%-betrouwbaarheidsinterval voor de lifetime-prevalentie van roken
berekenen.
93pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p
Bereken dit 95%-betrouwbaarheidsinterval. Rond de percentages in je
antwoord af op gehele getallen.
In tabel 2 zijn de 6714 leerlingen uitgesplitst naar schoolniveau.
tabel 2 lifetime-prevalentie van roken
105pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 5p
Bepaal met behulp van het formuleblad of het verschil in
lifetime-prevalentie van roken tussen havoleerlingen en vwo-leerlingen
groot, middelmatig of gering is.
Van de 1544 leerlingen die aangaven dat zij rookten of ooit gerookt
hadden, gaven 712 leerlingen aan in de afgelopen maand nog gerookt te
hebben. Deze groep van 712 leerlingen noemen we ‘de rokers’. Aan de
rokers is gevraagd hoeveel sigaretten zij gemiddeld per dag hebben
gerookt in de afgelopen maand. Het resultaat staat in tabel 3.
tabel 3 gemiddeld aantal sigaretten per dag
Tabel 3 geeft inzicht in de verdeling van de variabele ‘gemiddeld aantal
sigaretten per dag in de afgelopen maand’. Op basis van deze gegevens
kun je inschatten hoe de relatieve frequentiepolygoon van deze variabele
eruitziet. In de figuur staan vier schetsen van relatieve
frequentiepolygonen (a, b, c, d).
figuur
112pData presenteren en beoordelen 2p
Welke van deze vier relatieve frequentiepolygonen geeft de verdeling
waarschijnlijk het best weer? Licht je antwoord toe.
In tabel 4 zijn de gegevens van tabel 3 uitgesplitst naar geslacht.
tabel 4 gemiddeld aantal sigaretten per dag
123pCentrum, spreiding en verdelingen 3p
Bij welk geslacht, meisjes of jongens, is de mediaan van het gemiddeld
aantal sigaretten per dag het grootst? Licht je antwoord toe
opgave 4Een ranglijst van alle schakers
Bij een schaakpartij kan een speler punten verdienen. Als hij een partij
wint, krijgt hij 1 punt. Als hij verliest, dan krijgt hij 0 punten. Wanneer de
partij in remise eindigt (geen van beide spelers heeft gewonnen), dan
krijgt hij 0,5 punt.
Door op bovenstaande manier punten toe te
kennen, kan een ranglijst worden opgesteld van
alle wedstrijdspelers in de wereld. De top 10 van
deze ranglijst (juni 2017) zie je in de figuur.
In de figuur zie je bij elke speler zijn rating. Hoe
hoger de rating, des te beter de speler tot dan
toe heeft gespeeld. De rating wordt altijd
afgerond op een geheel getal.
In deze opgave wordt uitgelegd hoe de rating
van een speler berekend wordt. Hiervoor kijkt
men allereerst naar de vooraf verwachte score
voor de speler bij elke partij die hij gaat spelen:
dat is een voorspelling van het aantal punten dat
hij met die partij gaat scoren. Dit getal ligt tussen 0 en 1. Als het kleiner is
dan 0,5, dan mag je verwachten dat hij zal verliezen. Als het groter is dan
0,5, dan mag je verwachten dat hij zal winnen.
Als twee schakers, speler A en speler B, een partij tegen elkaar gaan
spelen, dan kan met behulp van de rating van beide spelers de vooraf
verwachte score bij de partij voor speler A worden berekend1) met de
volgende formule:
Hierin is:
− VA de vooraf verwachte score bij de partij voor speler A
− RA de rating van speler A
− RB de rating van speler B
Schakers Rutten en Faber gaan een partij spelen. De rating van Rutten
is 2307, de rating van Faber is 2107.
133pRekenen met een gegeven formule 3p
Laat met behulp van de formule zien dat je mag verwachten dat Faber zal
verliezen.
noot 1 In de praktijk worden andere formules gebruikt, maar de gegeven formule geeft een
goede benadering.
De rating van schaker Altena (schaker A) is 1932. Er geldt: hoe hoger de
rating van zijn tegenspeler (schaker B) is, des te lager is de vooraf
verwachte score voor Altena. Dit kan beredeneerd worden aan de hand
van de formule.
143pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Geef deze redenering zonder gebruik te maken van de grafische
rekenmachine.
We gaan er in de rest van deze opgave van uit dat de nieuwe rating van
een speler wordt berekend direct na het spelen van de partij. Deze
nieuwe rating wordt bepaald met behulp van het aantal punten P dat de
speler met de partij scoorde (0 of 0,5 of 1) en de vooraf verwachte
score V bij de partij voor de speler. Voor een grootmeester (een zeer
goede schaker) gaat dit met het onderstaande stappenplan:
1 Eerst wordt het verschil berekend van het aantal punten dat de speler met de partij scoorde en de vooraf verwachte score voor de speler bij deze partij (dus PV ). 2 De uitkomst bij stap 1 wordt vermenigvuldigd met 10. 3 De uitkomst bij stap 2 wordt afgerond op een geheel getal. 4 De uitkomst bij stap 3 wordt opgeteld bij de rating die de speler vóór de partij had.
Op het Tata Steel-schaaktoernooi in 2015 speelden de grootmeesters
Magnus Carlsen en Radoslaw Wojtaszek tegen elkaar. Voorafgaand aan
deze partij was de rating van Carlsen 2862 en die van Wojtaszek 2744.
De partij werd gewonnen door Wojtaszek.
154pRekenen met een gegeven formule 4p
Bereken de nieuwe rating van Wojtaszek.
De rating van een grootmeester kan door één partij nooit met meer dan
10 punten stijgen.
opgave 5De Jamuna, een krachtige rivier
De Jamuna is een van de foto grootste rivieren van Bangladesh. In het regenseizoen kan de rivier wel bijna 12 km breed zijn. Dan stroomt het water zo snel en met zo veel kracht, dat de oevers van de rivier aangetast worden. Een deel van de oevers verdwijnt dan door het water. Zie de foto. Op een bepaalde plaats van de Jamuna wordt gemeten hoeveel water (in m 3 ) daar per seconde langs stroomt. Dit noemt men de waterdoorvoer . Deze varieert behoorlijk: in het regenseizoen kan de waterdoorvoer wel 100 000 m 3 per seconde zijn, terwijl de waterdoorvoer in de droge tijd ‘slechts’ 3000 m 3 per seconde is. Er is berekend hoe groot de waterdoorvoer in de maand januari van 1972 gemiddeld was. Dit werd ook gedaan voor alle andere januarimaanden in de periode 1973 tot en met 2007. Deze 36 waarden zijn samengevat met een boxplot. Deze boxplot staat in de figuur op de uitwerkbijlage. In diezelfde figuur staat ook een boxplot die hoort bij alle februarimaanden in de periode 1972 tot en met 2007. En net zo voor alle andere maanden in het jaar. Karin doet met behulp van het formuleblad de volgende uitspraak: “Het verschil in gemiddelde waterdoorvoer tussen de julimaanden en de augustusmaanden in de periode 1972 tot en met 2007 is gering.”
Statistische uitspraken en groepen vergelijken 2p
figuur 1 Als de waterdoorvoer erg groot is, ook al is dat maar gedurende een paar uur of een erosie van linker- en rechteroever samen paar dagen, dan worden de oevers aangetast en verdwijnen er stukken oever in de rivier. Dit heet erosie . 4000 Voor de jaren 1995 tot en met 2005 is in figuur 1 te zien hoeveel hectare land door erosie verdween (1 hectare (ha) = 10 000 m 2 ). 2000 In figuur 2 is voor elk jaar in de periode 1995 tot en met 2005 zowel de erosie van de linkeroever als de erosie van de rechteroever in dat jaar uitgezet tegen de maximale 11111222222 waterdoorvoer in dat jaar. Zo kun je in figuur 2 bijvoorbeeld zien dat in één van die jaren 2200 ha van de linkeroever verdween, 1400 ha van de rechteroever verdween en dat de maximale waterdoorvoer 85 000 m 3 per seconde was. Je kunt in figuur 2 echter niet zien in welk jaar dat was. Figuur 1 en figuur 2 staan ook op de uitwerkbijlage. figuur 2 )/( a/h e i s/r o
Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
In figuur 3 zijn nogmaals de punten weergegeven die bij de erosie van de rechteroever horen. Deze punten liggen bij benadering op een rechte lijn. Deze lijn is in figuur 3 getekend. figuur 3 )/( a/( h e i s/r o Je kunt van deze lijn de formule opstellen, waarbij je de erosie E (in ha) uitdrukt in de maximale waterdoorvoer W (in m 3 /sec).
Lineaire functies 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Stel deze formule op. Voor de bewoners langs de Jamuna zijn de gevolgen van erosie groot. Veel mensen die een stukje grond langs de rivier hadden, hebben moeten toezien hoe hun grond door de rivier verdween. Dit trof veel mensen, doordat Bangladesh dichtbevolkt is: de bevolkingsdichtheid was aan het begin van deze eeuw 975 inwoners per km 2 . Een politicus wil een berekening hebben van het aantal bewoners dat in de periode 2001 tot en met 2005 het land waarop zij woonden zijn kwijtgeraakt als gevolg van erosie door de Jamuna. Gebruik bij deze berekening figuur 1 en neem aan dat in deze periode de bevolkingsdichtheid van 975 inwoners per km 2 ook geldt voor het gebied langs de Jamuna.
opgave 6Overboekt
Een overboeking van een vliegtuig ontstaat doordat voor een vlucht meer
tickets worden verkocht dan er zitplaatsen zijn. Sommige
vliegmaatschappijen kiezen hiervoor, omdat telkens weer blijkt dat niet
iedereen die een vliegticket heeft gekocht komt opdagen. Door meer
tickets te verkopen willen de vliegmaatschappijen hun winst vergroten.
Een vliegmaatschappij rekent er dus bij overboeking op dat sommige
passagiers niet komen opdagen. Als vrijwel alle passagiers wel komen
opdagen, zijn er te weinig zitplaatsen. In dat geval kunnen één of meer
passagiers niet mee. De vliegmaatschappij lost dit op door aan deze
passagiers een vergoeding te geven.
De vliegmaatschappij Aircrown vliegt in de Verenigde Staten dagelijks op
de route Minneapolis – Chicago. Het vliegtuig waarmee gevlogen wordt,
heeft 198 stoelen. De tickets op deze vlucht kosten $ 78 (78 dollar).
Een risicoanalist heeft twee situaties onderzocht: de situatie zonder
overboeking en de situatie met overboeking van het vliegtuig.
Zonder overboeking van het vliegtuig
198 mensen kopen een ticket. Allen kunnen mee met het vliegtuig en wie
niet komt opdagen is zijn geld kwijt.
Met overboeking van het vliegtuig
Aircrown verkoopt geen 198, maar 210 tickets per vlucht. Iedere
passagier die niet komt opdagen, is zijn geld kwijt. Iedere passagier die
wel komt opdagen en voor wie er geen stoel meer is, krijgt zijn $ 78 niet
terug, maar krijgt wel een vergoeding van $ 250. Dit zijn de enige extra
kosten die Aircrown maakt door het verkopen van de extra tickets.
Aircrown heeft van 300 vluchten waarvan de 210 tickets allemaal verkocht
zijn, bijgehouden hoeveel passagiers er zijn komen opdagen. Zie de tabel.
Met deze gegevens kun je berekenen hoeveel dollar de vliegmaatschappij
aan vergoedingen heeft moet betalen.
tabel
De risicoanalist van de vliegmaatschappij wil met bovenstaande gegevens
berekenen wat overboeking oplevert aan extra winst in vergelijking met de
situatie zonder overboeking.
Hij kijkt hiervoor naar de gemiddelde winst per stoel per vlucht.
In de situatie zonder overboeking is de gemiddelde winst per stoel per
vlucht gelijk aan $ 11,25.
Volgens de risicoanalist is de gemiddelde winst per stoel per vlucht in de
situatie met overboeking minstens 25% hoger dan in de situatie zonder
overboeking.
(formule 2)
