bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen 2 × 2 kruistabel / a b / , met c d − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met steekproefomvang n > 100 ) − als max V > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, cp − als 20 < max V ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, cp − als max V ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. cp Effectgrootte E = 2 1 1 2/2 , met X en X de steekproefgemiddelden ( X ≥ X ), S en S de steekproefstandaardafwijkingen 1 2 1 2 − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 3Uitvaltijd
Bij het bedrijf Alutech, dat aluminium buizen produceert, werkt men aan
één stuk door van maandagmorgen tot en met zaterdagmiddag. De
werknemers van dit bedrijf werken in ploegendiensten van 8 uur. Daarbij
zijn er twee dagdiensten, genaamd A en B, en één nachtdienst N. Zie
tabel 1.
tabel 1 werktijden Alutech
Op maandagmorgen is men de eerste 3 uur van de A-dienst bezig om het
productieproces op te starten en op zaterdagmiddag wordt het laatste uur
van de A-dienst gebruikt om het proces gecontroleerd stil te zetten. Alle
overige tijd wordt beschouwd als mogelijke productietijd.
113pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken het aantal uren mogelijke productietijd per week.
Tijdens elke dienst komen er storingen voor. Het productieproces wordt
dan een aantal minuten stilgelegd totdat de storing verholpen is. Telkens
wordt bijgehouden hoe lang de storing duurt. Na afloop van de dienst
wordt de totale tijd van alle storingen genoteerd. Deze tijd noemt men de
uitvaltijd. De directie wil dat de uitvaltijd zo klein mogelijk is.
Om te onderzoeken hoe groot de uitvaltijd is, heeft men van
16 werkweken de uitvaltijden van de dag- en nachtdiensten vergeleken.
Daarbij heeft men bij de A-diensten alleen gekeken naar de diensten die
op dinsdag tot en met vrijdag vallen. De resultaten staan in de dotplot in
figuur 1.
figuur 1 uitvaltijd per dienst
Met de gegevens uit de dotplot zijn van alle diensten cumulatieve
frequentiepolygonen gemaakt. Er is gebruikgemaakt van een
klassenindeling met klassenbreedte 1 minuut. Zie figuur 2.
figuur 2
123pData presenteren en beoordelen 3p
Beredeneer met behulp van figuur 1 welke cumulatieve
frequentiepolygoon hoort bij dagdienst B.
Tot verbazing van de directie is de uitvaltijd tijdens de nachtdiensten in
vrijwel alle gevallen lager dan tijdens de beide dagdiensten. Omdat elke
minuut uitvaltijd het bedrijf geld kost, besluit de directie nader onderzoek
te doen naar de uitvaltijden van de drie verschillende diensten.
De directie berekent de mediaan, het eerste kwartiel en het derde kwartiel
van de uitvaltijd voor elk van de drie diensten. Zie tabel 2.
tabel 2 uitvaltijd per dag- of nachtdienst in minuten
Eerst kijkt de directie alleen naar het verschil tussen dagdienst A en
dagdienst B. Met behulp van boxplots kun je een uitspraak doen over het
verschil tussen de uitvaltijden van de twee dagdiensten. Daarvoor hoeven
de boxplots niet getekend te worden.
134pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 4p
Bepaal met behulp van het formuleblad en tabel 2 of het verschil in
uitvaltijd tussen dagdienst A en dagdienst B groot, middelmatig of gering
is.
In figuur 1 is te zien dat er bij alle diensten waarnemingen zijn die
opvallend afwijken van de rest. We leggen daarom vast wat we in deze
opgave met een uitschieter bedoelen:
144pCentrum, spreiding en verdelingen 4p
Bepaal hoeveel waarnemingen bij dagdienst B uitschieters zijn.
Van elk van de drie verschillende diensten worden ook de gemiddelde
uitvaltijd en de standaardafwijking berekend. Zie tabel 3.
tabel 3 uitvaltijd per dag- of nachtdienst in minuten
Men vermoedt dat de lagere uitvaltijden tijdens de nachtdiensten te
maken hebben met het feit dat de energietoevoer gedurende de nacht
constanter is dan overdag. Daarom wordt de energietoevoer overdag
verbeterd. De directie van Alutech hoopt daarmee de uitvaltijden van de
dagdiensten terug te dringen.
Na verloop van tijd blijkt dat de gemiddelde uitvaltijd van de A-diensten
van dinsdag tot en met vrijdag gelijk geworden is aan de gemiddelde
uitvaltijd van de nachtdiensten. Ook de gemiddelde uitvaltijd van alle
B-diensten is gelijk geworden aan de gemiddelde uitvaltijd van de
nachtdiensten. De standaardafwijkingen van de A-diensten en B-diensten
zijn niet veranderd.
Je kunt nu voor dagdienst B de oude met de nieuwe situatie vergelijken.
153pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p
Bereken met behulp van het formuleblad voor dagdienst B of het verschil
in uitvaltijd tussen de oude en de nieuwe situatie groot, middelmatig of
gering is.
Doordat de gemiddelde uitvaltijd van de A-diensten van dinsdag tot en
met vrijdag en van alle B-diensten is teruggedrongen tot het gemiddelde
van de uitvaltijd van de nachtdiensten, zal de productietijd toenemen.
164pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Bereken met hoeveel uur de totale netto productietijd op jaarbasis
toeneemt. Neem hierbij aan dat men 51 volledige werkweken per jaar
werkt. Laat hierbij de A-diensten van maandag en zaterdag buiten
beschouwing.
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 4Atmosfeer
De atmosfeer, ook wel dampkring genoemd, is het gasvormige omhulsel
van de aarde en is opgebouwd uit verschillende lagen. De onderste drie
lagen zijn de troposfeer, de stratosfeer en de mesosfeer. De
overgangszone tussen de onderste twee lagen wordt de tropopauze
genoemd, de overgangszone daarboven de stratopauze. Zie de figuur.
De hoogtes waarop de verschillende lagen en overgangszones zich
bevinden, zijn niet overal op aarde gelijk en kunnen door de tijd heen
variëren. Om zaken toch goed te kunnen vergelijken heeft men een model
voor de onderste drie lagen en overgangszones vastgesteld: de
standaardatmosfeer. De temperatuur op een bepaalde hoogte is in de
figuur af te lezen. Daarin zie je het verband tussen de temperatuur T in °C
en de hoogte h in km. Zo kun je aflezen dat op een hoogte van 10 km de
temperatuur –50 °C is.
figuur
In elk van de drie sferen is er een laagste en hoogste temperatuur.
172pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p
Bepaal in welke van de drie sferen het verschil tussen de hoogste en
laagste temperatuur het kleinst is. Licht je antwoord toe.
De stratosfeer bestaat uit twee delen. In beide delen neemt de
temperatuur toe naarmate je hoger komt. Voor de temperatuur in het
bovenste deel geldt de formule T = 2,8 ⋅ h − 134,1. Je kunt deze formule
herleiden tot de vorm h = a ⋅ T + b, waarbij a en b getallen zijn.
183pFormules herleiden en omwerken 3p
Laat deze herleiding zien en rond a en b af op twee decimalen.
Ook voor andere sferen, bijvoorbeeld voor de mesosfeer, kun je formules
opstellen van het verband tussen de hoogte en de temperatuur.
De mesosfeer bestaat uit twee delen.
195pLineaire functies 4p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Stel voor het onderste deel van de mesosfeer de formule op van h,
uitgedrukt in T.
Niet alleen de temperatuur, ook de luchtdruk hangt af van de hoogte.
Luchtdruk wordt vaak uitgedrukt in hectopascal of hPa. De luchtdruk op
een hoogte van 0 kilometer is gelijk aan 1013 hPa en boven in de
mesosfeer, op 85 km, is de luchtdruk 0,0037 hPa.
Het verband tussen de luchtdruk en de hoogte is exponentieel.
Met behulp van bovenstaande gegevens kun je berekenen dat de
luchtdruk elke kilometer met ongeveer 14% afneemt.
204pExponentiële functies en groei 4p
Bereken dit percentage in één decimaal nauwkeurig.
Om gegevens over het weer te verzamelen wordt een weerballon
opgelaten met meetapparatuur, waaronder een thermometer. De ballon
zet uit naarmate hij hoger in de atmosfeer komt, omdat de luchtdruk
steeds verder afneemt. Op het moment dat de luchtdruk 4,5 hPa is,
scheurt de ballon open en valt hij naar beneden.
opgave 5Zonnepanelen
Steeds meer mensen kopen zonnepanelen omdat ze willen besparen op
hun energiekosten. De energie die opgewekt wordt door zonnepanelen is
namelijk gratis.
In tabel 1 staat hoeveel energie een huishouden jaarlijks gemiddeld
verbruikt. De prijzen van zonnepanelen inclusief installatie en onderhoud
staan in tabel 2.
SolarXL, een bedrijf dat zonnepanelen verkoopt en de prijzen uit tabel 2
hanteert, adverteert in het jaar 2017 met de volgende slogan:
Het huishouden van de familie Jaspers bestaat in totaal uit vier personen
en heeft elk jaar een gemiddeld energieverbruik voor een huishouden van
vier personen. Meneer Jaspers overweegt in het jaar 2017 om
zonnepanelen aan te schaffen en die vanaf 1 januari 2018 te gebruiken.
Er zullen dan zo min mogelijk, maar voldoende zonnepanelen
aangeschaft worden zodat alle benodigde energie door de panelen
geleverd kan worden.
Meneer Jaspers vraagt zich af of de slogan van SolarXL voor zijn gezin
klopt. Om dat te berekenen, doet hij de volgende aannames:
− Elk zonnepaneel levert jaarlijks 210 kWh energie op.
− De prijs van energie per kWh in het jaar 2017 bedraagt € 0,22 (voor
huishoudens zonder zonnepanelen).
− De prijs van energie per kWh zal jaarlijks met € 0,003 toenemen.
− Er wordt geen winst gemaakt op het geldbedrag dat bespaard zou
worden door geen zonnepanelen te kopen: het wordt dus bijvoorbeeld
niet op een spaarrekening gezet.
