bronnen

Eindexamen wiskunde A havo 2012, tijdvak 2

opgave 1Benzineverbruik

figuur bij de opgave
John heeft een nieuwe auto gekocht die bekend
staat om zijn lage verbruik.
Om te zien of de auto echt zo zuinig is als
beweerd wordt, houdt hij van alle tankbeurten bij
hoeveel liter hij getankt heeft en hoeveel
kilometer hij daarmee gereden heeft. Met deze
gegevens berekent hij het gemiddelde
benzineverbruik B per tankbeurt in liter per 100 km.
John vindt op het internet dat het benzineverbruik B bij benadering normaal
verdeeld is met een gemiddelde van 5,78 liter per 100 km en een
standaardafwijking van 0,26 liter per 100 km. In het vervolg gaan we uit van
deze gegevens.
John verwacht komend jaar 70 keer te tanken.
14p
Bereken bij hoeveel van die 70 tankbeurten het benzineverbruik naar
verwachting meer dan 6,0 liter per 100 km zal zijn.
John spreekt van een goedkope tankbeurt als het door hem berekende
benzineverbruik hoort bij de 10% laagste volgens de gegevens op het internet.
23p
Bereken hoe hoog het benzineverbruik B van een goedkope tankbeurt maximaal
mag zijn.
Het benzineverbruik is van verschillende factoren afhankelijk. Een van die
factoren is de buitentemperatuur. Zie de figuur op de volgende pagina. Deze
figuur is ook op de uitwerkbijlage afgedrukt.
In de figuur is voor een aantal verschillende buitentemperaturen de
literafstand L in km uitgezet tegen de snelheid v in km per uur. De literafstand
is het aantal kilometer dat met 1 liter benzine gereden kan worden. Hoe groter
de literafstand is, des te lager is het verbruik. In de figuur kun je bijvoorbeeld
aflezen dat bij een temperatuur van 0 °C en een snelheid van 100 km per uur de
literafstand L ongeveer 19,0 km is en bij 25 °C en dezelfde snelheid ongeveer
22,3 km.
Het verband tussen de snelheid v en de literafstand L is vanaf een snelheid van
120 km per uur bij benadering lineair. De drie formules die horen bij de
verschillende buitentemperaturen hebben dus de vorm L = a ⋅ v + b.
34p
Stel de formule op van de literafstand bij een buitentemperatuur van 0 °C bij
snelheden vanaf 120 km per uur.
John maakt een rit van 75 km bij een buitentemperatuur van 10 °C. Hij rijdt met
constante snelheid en verbruikt hierbij 4,4 liter benzine.
Hij wil onderzoeken hoeveel km hij meer kan rijden met dezelfde hoeveelheid
benzine en met dezelfde constante snelheid als de buitentemperatuur 25 °C is.
Hierbij gebruikt hij de figuur.
45puitwerkbijlage
Bereken hoeveel km John dan meer kan afleggen. Je kunt hierbij gebruikmaken
van de figuur op de uitwerkbijlage.
figuur
Verband tussen literafstand en snelheid
bij verschillende buitentemperaturen 26 literafstand L (km) Legenda: 25 Temp. 25 C 24 Temp. 10 C Temp. 0 C 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 snelheid v (km/uur)
In de figuur kun je zien dat bij een snelheid van 90 km per uur en een
temperatuur van 10 °C de literafstand 21,9 km is, en dat deze bij 25 °C
24,3 km is. Met behulp van lineair interpoleren kun je nu de literafstand
berekenen bij deze snelheid en een temperatuur van 13 °C.
53p
Bereken deze literafstand L.

opgave 2Pig

Pig is een dobbelspelletje dat wordt gespeeld door twee spelers die om de beurt
een aantal keer met een dobbelsteen werpen. Tijdens een beurt gelden de
onderstaande spelregels. Zie tabel 1.
tabel 1
Je gooit een Actie 1 Je beurtscore is 0. Scores uit mogelijk eerdere worpen uit deze beurt vervallen dus. Je totaalscore verandert niet. De beurt gaat naar de tegenstander. 2, 3, 4, 5 of 6 De score van deze worp wordt bij die van de mogelijk eerdere worpen uit deze beurt opgeteld tot een (voorlopige

Je gooit een Actie 1 Je beurtscore is 0. Scores uit mogelijk eerdere worpen uit deze beurt vervallen dus. Je totaalscore verandert niet. De beurt gaat naar de tegenstander. 2, 3, 4, 5 of 6 De score van deze worp wordt bij die van de mogelijk eerdere worpen uit deze beurt opgeteld tot een (voorlopige) beurtscore. Je mag nu kiezen: stoppen → een nieuwe totaalscore (de beurtscore wordt opgeteld bij de oude totaalscore); beurt gaat naar de tegenstander. doorgaan → nogmaals werpen.

Het doel is als eerste op een totaalscore van 100 punten (of meer) uit te komen.
Een mogelijk spelverloop is het volgende.
Speler 1 begint en werpt het rijtje 5-2-2-4 en stopt dan. Hij eindigt deze beurt
met een beurtscore van 13 punten. Speler 2 gaat verder. Deze werpt het rijtje
5-4-3-2-6 en stopt dan met een beurtscore van 20 punten. Speler 1 gaat weer
verder en werpt het rijtje 3-4-1. Hij heeft dan een beurtscore van 0 punten. Zijn
totaalscore blijft 13 punten. De beurt gaat weer naar speler 2 die het rijtje 6-6
werpt en dan stopt, zodat zijn totaalscore 32 wordt. Het spelverloop is hieronder
in tabel 2 weergegeven.
tabel 2
Speler 1 Speler 2 beurt totaal beurt totaal score score score score score score beurt 1 5 2 2 4 stop 13 13 5 4 3 2 6 stop 20 20 beurt 2 3 4 1 0 13 6 6 stop 12 32 beurt 3 … …
Speler 1 werpt in zijn eerste beurt vier keer met een dobbelsteen met als
resultaat het rijtje 5-2-2-4.
63p
Bereken hoeveel verschillende rijtjes er mogelijk zijn als er vier keer geworpen
wordt in één beurt van dit spel.
Speler 1 uit het spel hierboven heeft tijdens zijn tweede beurt een beurtscore
van 0 punten.
73p
Bereken de kans dat een speler die aan een beurt begint, na drie worpen eindigt
met een beurtscore van 0 punten.
Een speler stopt met zijn beurt als hij na drie worpen 16 of meer punten heeft.
84p
Schrijf alle rijtjes op waarmee je in drie worpen 16 of meer punten kunt hebben.
Er is een strategie om dit spel te spelen. Bij deze strategie wordt rekening
gehouden met het aantal punten dat je gemiddeld per worp kunt winnen, dus
met de verwachtingswaarde van de winst per worp.
De verwachtingswaarde van de winst per worp blijkt gelijk te zijn aan 3(1)/(3).
93p
Toon dit met een berekening aan.
Stel dat je in een beurt al K punten hebt gescoord en je moet beslissen of je
stopt of nog een keer werpt.
Als je nog een keer werpt, is de kans op een beurtscore van 0 gelijk aan (1)/(6). Je
verliest dan K punten. De verwachtingswaarde van je verlies bij een extra worp
is dus (1)/(6)K.
De strategie is nu:
Als de verwachtingswaarde van je verlies bij een extra worp groter is dan de verwachtingswaarde van je winst bij een extra worp, moet je stoppen.
103p
Bereken het aantal punten K waarbij je volgens deze strategie zou moeten
stoppen.

opgave 3Pitotbuis

foto Voor de piloot van een vliegtuig is de ‘air speed’ heel belangrijk. Dit is de snelheid van het vliegtuig ten opzichte van de omringende lucht. Deze snelheid wordt gemeten met pitotbuizen: kleine buisvormige uitsteeksels aan de romp of vleugel van een vliegtuig. Zie de foto. Een eenvoudige…

foto Voor de piloot van een vliegtuig is de ‘air speed’ heel belangrijk. Dit is de snelheid van het vliegtuig ten opzichte van de omringende lucht. Deze snelheid wordt gemeten met pitotbuizen: kleine buisvormige uitsteeksels aan de romp of vleugel van een vliegtuig. Zie de foto. Een eenvoudige versie van een pitotbuis is een gebogen buis met een vloeistof erin, zie de figuur. De werking is als volgt. Het vliegtuig vliegt naar rechts, zodat aan de rechterkant lucht de buis instroomt en daar de vloeistof wegdrukt, zie de figuur. De vloeistof in de linkerbuis komt dan hoger te staan. De hoogte van de vloeistof in de linkerbuis ten opzichte van de rechterbuis kan worden gemeten. Een hogere snelheid geeft een grotere hoogte. figuur snelheid v Je kunt met zo’n buis ook de snelheid van je auto bepalen op een windstille dag. Het enige wat je daarvoor nodig hebt, is een met water gevulde doorzichtige plastic buis die je tot een pitotbuis vormt. Het uiteinde voor de luchtinlaat wordt buiten de auto in de rijrichting geplaatst. Een natuurkundedocent heeft op deze manier de hoogte h in cm gemeten bij verschillende snelheden v in km per uur. De resultaten staan in de tabel. tabel snelheid v (in km/uur) 0 20 40 60 80 100 120 hoogte h (in cm) 0 0,2 0,8 1,7 3,0 4,7 6,8

Teken in het assenstelsel op de uitwerkbijlage het toenamediagram bij deze gegevens.
De natuurkundedocent weet dat er een kwadratisch verband tussen h en v bestaat. Dit verband is van de volgende vorm h = a ⋅ v 2 Hierin is h de hoogte in cm en v de snelheid van de auto in km per uur.
Bereken met behulp van de tabel de waarde van a . Het verband tussen h en v is natuurlijk al langer bekend. Volgens natuurkundige wetten geldt in dit geval v 2 = 2116 ⋅ h In de rest van deze opgave gaan we uit van dit verband. De natuurkundedocent heeft nog een andere auto, daarvan is de…

Bereken met behulp van de tabel de waarde van a . Het verband tussen h en v is natuurlijk al langer bekend. Volgens natuurkundige wetten geldt in dit geval v 2 = 2116 ⋅ h In de rest van deze opgave gaan we uit van dit verband. De natuurkundedocent heeft nog een andere auto, daarvan is de snelheidsmeter onbetrouwbaar. Hij maakt met deze auto een rit waarbij hij met zijn pitotbuis een hoogte meet van 7,2 cm. Met dit gegeven en het natuurkundige verband kan hij zijn werkelijke snelheid berekenen. De (onbetrouwbare) snelheidsmeter geeft een snelheid van 110 km per uur aan.

Bereken hoeveel procent de snelheid op zijn snelheidsmeter afwijkt van de snelheid volgens het natuurkundige verband. Hieronder staan vijf verbanden ( a t/m e ) tussen h en v .
Geef bij al deze verbanden aan of het verband v 2 = 2116 ⋅ h eruit kan worden afgeleid. Als dit mogelijk is, laat dan de afleiding zien.

opgave 4Meer dan één prijs …

Hoe zou je het vinden om met één lot twee auto’s tegelijk te winnen? Dit
overkwam een zekere Antonio Gallardo in 1982 bij de Quebec Super Lotto in
Canada. Puur geluk? Ongetwijfeld, maar het zou heel goed nog eens kunnen
gebeuren.
figuur bij de opgave
De Quebec Super Lotto verloot aan het eind van elk jaar 500 auto’s als
bonusprijzen. In 1982 waren er 2,4 miljoen loten verkocht, elk met een uniek
nummer. Om de winnaars te bepalen, trekt de computer 500 maal een nummer
uit de 2,4 miljoen lottonummers zonder erop te letten of een nummer al
getrokken is. De lijst van 500 winnende nummers wordt in de krant gezet.
Antonio Gallardo, die slechts één lot gekocht had, had de moeite genomen alle
nummers na te lopen en had daarbij zijn eigen nummer tweemaal aangetroffen.
Dubbel prijs!
Telkens wanneer de computer een nummer trekt, is de kans (1)/(2 400 000) dat het
Antonio’s nummer is. Deze kans is dus zéér klein. Als de computer 500 keer een
nummer trekt, kun je de kans berekenen dat Antonio’s nummer twee of meer
keer getrokken wordt.
154p
Bereken deze kans.
In het vervolg van deze opgave gaan we nader op de trekking in. Het is mogelijk
dat er lottonummers zijn die twee of meer keer worden getrokken.
Om de kans daarop te bepalen, berekenen we in eerste instantie een andere
kans, namelijk de kans dat alle getrokken nummers verschillend zijn. Dat doen
we aan de hand van een eenvoudiger voorbeeld.
Stel je voor dat een computer uit een lijst van 100 verschillende lottonummers
vijfmaal een nummer trekt, zonder erop te letten of dit nummer al eerder
getrokken is.
De kans dat alle getrokken nummers verschillend zijn, is ongeveer 0,9035.
163p
Toon dit met een berekening aan.
De kans dat alle getrokken nummers verschillend zijn, is ook voor andere
situaties te berekenen. Een formule die een goede benadering geeft van deze
kans is
_p_ =_0_,_6_0_6_5((1)/(n)^ ⋅^(^x^2^ −^x^))
In deze formule is n het totaal aantal lottonummers, x het aantal keren dat de
computer een nummer trekt en p de kans dat alle getrokken lottonummers
verschillend zijn.
We bekijken nog eens de situatie met 100 lottonummers waarbij de computer
vijfmaal een nummer trekt.
174p
Bereken voor deze situatie hoeveel de kans p die met de formule berekend
wordt, afwijkt van de werkelijke kans.
184p
Bereken met behulp van de formule hoe groot de kans is dat in een situatie als
de Quebec Super Lotto van 1982 op een of meer lottonummers twee of meer
keer een prijs valt.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 5Radioactieve stoffen

In ziekenhuizen wordt veel gebruikgemaakt van radioactieve stoffen.
Bij het radioactieve verval van deze stoffen komt straling vrij. Deze straling
wordt onder andere gebruikt voor diagnose en behandeling van ziekten.
Patiënten krijgen een injectie met een geringe hoeveelheid radioactieve stof.
Daarna kijkt de arts met een speciale camera waar de stof zich in het lichaam
concentreert.
Om een scan van de botten te maken, wordt een patiënt ingespoten met de
radioactieve stof Technetium-99m (Tc-99m).
Tc-99m heeft een halveringstijd van 6 uur. Dat wil zeggen dat telkens na 6 uur
de helft van de radioactieve stof verdwenen is. Deze halveringstijd is lang
genoeg om het medische onderzoek uit te voeren en kort genoeg om de patiënt
na het onderzoek niet in het ziekenhuis te hoeven houden.
194p
Bereken hoeveel procent van de radioactieve stof Tc-99m 24 uur na toediening
nog in het lichaam van de patiënt aanwezig is.
foto
foto
Vanwege de korte halveringstijd is het voor
een ziekenhuis onmogelijk om Tc-99m in
voorraad te hebben. In het ziekenhuis wordt
hiervoor eenmaal per week een
technetiumkoe afgeleverd. Zie de foto.
Deze ‘koe’ is eigenlijk een container met
Molybdeen-99 (Mo-99). Tc-99m ontstaat bij
het radioactieve verval van Mo-99, dat een
veel langere halveringstijd heeft.
Uit de koe kan een week lang op elk
gewenst moment Tc-99m worden
‘gemolken’. Dit is voldoende voor vele
tientallen patiënten.
Een container wordt gevuld met Mo-99. Het exponentiële radioactieve verval van
Mo-99 is dusdanig dat na precies 7 dagen nog 17,3% van de stof over is.
Op grond van dit gegeven kun je vaststellen dat de hoeveelheid Mo-99 ieder uur
met ongeveer 1,04% afneemt.
205p
Laat met een berekening zien dat dit klopt.
214p
Bereken met behulp van de genoemde 1,04% na hoeveel uur de hoeveelheid
Mo-99 in de container gehalveerd is.