opgave 1Voetbalwetten
Er zijn sportstatistici die alles bijhouden op het gebied
van de Europese voetbalcompetities. Met deze informatie
proberen ze allerlei verbanden, de zogenaamde
voetbalwetten (zo worden ze genoemd in het tijdschrift
Natuur, Wetenschap en Techniek), te ontdekken. In deze
opgave bekijken we een aantal van deze voetbalwetten
voor de Nederlandse Eredivisie.
In de Nederlandse Eredivisie spelen 18 voetbalclubs tegen
elkaar. Iedere club speelt twee wedstrijden, een
thuiswedstrijd en een uitwedstrijd, tegen elke andere club.
13pToon aan dat er in de Nederlandse Eredivisie in totaal 306 wedstrijden worden
gespeeld.
Als een wedstrijd in een gelijkspel eindigt, krijgt elk van beide clubs 1 punt. Als
een wedstrijd niet in een gelijkspel eindigt, krijgt de winnende club 3 punten en
de verliezende club 0 punten.
In de competitie 2007/2008 behaalden de 18 clubs samen 858 punten.
24pBereken bij hoeveel wedstrijden er in dit seizoen gelijk werd gespeeld.
Een van de voetbalwetten luidt: de kans op gelijkspel is altijd één op vijf.
Deze kans blijkt nauwelijks af te hangen van het verschil in speelsterkte tussen
twee clubs.
In een weekend spelen alle clubs één wedstrijd.
35pBereken de kans dat er in meer dan de helft van deze wedstrijden gelijk wordt
gespeeld.
Een andere voetbalwet luidt: een doelpunt valt eens in het half uur.
Het gemiddeld aantal doelpunten per wedstrijd is namelijk 3,1.
Er is zelfs een formule waarmee je de kans kunt uitrekenen op het aantal
doelpunten in een wedstrijd. Deze formule luidt:
P (
n doelpunten in een wedstrijd)
Het komt veel voor dat er in een wedstrijd twee of drie doelpunten vallen, zo
hebben de sportstatistici vastgesteld.
44pBereken met behulp van de formule de kans dat er in een wedstrijd twee of drie
doelpunten vallen.
In een ander weekend worden er zeven wedstrijden gespeeld.
55pBereken de kans dat er in hoogstens twee wedstrijden geen enkel doelpunt valt.
opgave 3Verzekeren
Verzekeringsmaatschappijen krijgen schadegevallen binnen van hun klanten en
betalen deze meestal uit. Ze moeten natuurlijk wel genoeg geld hebben om te
kunnen uitbetalen.
Verzekeren
We bekijken een verzekeringsmaatschappij met 800 klanten. We gaan ervan uit
dat elke klant maximaal één schadegeval per jaar mag indienen. De kans dat
een klant een schadegeval indient, is 0,01. Het aantal schadegevallen N per jaar
is dan voor deze verzekeringsmaatschappij binomiaal verdeeld.
93pBereken de kans dat er in een jaar precies 6 schadegevallen worden ingediend.
We gaan uit van een vast schadebedrag van 10 000 euro per geval.
Gemiddeld verwacht je dus 8 schadegevallen per jaar met een totaal
schadebedrag van 80 000 euro. Maar er kunnen in een jaar méér dan
8 schadegevallen worden ingediend. In het ergste geval dienen alle klanten een
schadegeval in, zodat de verzekeringsmaatschappij acht miljoen euro moet
uitbetalen. Zoveel geld heeft de verzekeringsmaatschappij niet, en dat hoeft ook
niet, want de kans dat dit gebeurt, is heel erg klein.
De kans dat er in een jaar 20 of meer schadegevallen worden ingediend, is al
erg klein. Bij 20 schadegevallen moet de verzekeringsmaatschappij slechts
200 000 euro uitbetalen.
104pBereken de kans dat de verzekeringsmaatschappij in een jaar 200 000 euro of
meer moet uitbetalen.
Herverzekeren
In de praktijk is het iets minder eenvoudig. De schadebedragen kunnen variëren.
Soms is er sprake van enorme schadebedragen en soms van een groot aantal
tegelijk, zoals na een aardbeving.
Verzekeringsmaatschappijen zorgen ervoor om niet alleen een bedrag te
reserveren, maar ook om een deel van het risico te herverzekeren bij een
andere verzekeringsmaatschappij.
Voor alle schadebedragen boven de 50 000 euro krijgt de verzekeraar het
gedeelte bóven de 50 000 euro dan terug van de herverzekeraar. De klanten
merken hier niets van.
Voor de herverzekeraar is het dus belangrijk om iets te weten over de verdeling
van de schadebedragen boven de 50 000 euro.
Dit bekijkt de herverzekeraar op de volgende manier. Alle schadebedragen
boven de 50 000 euro worden van klein naar groot boven elkaar gezet, met
horizontaal het bijbehorende schadebedrag. In 2003 zijn bij een Nederlandse
herverzekeraar 19 schadegevallen geconstateerd waarvan het kleinste
schadebedrag 55 000 euro is en het grootste 178 000 euro. Deze zijn
weergegeven in de onderstaande figuur. Verticaal lees je in de figuur af: het
percentage schadegevallen lager dan het bijbehorende schadebedrag of gelijk
aan dat schadebedrag.
figuur
Wanneer dit gedaan wordt voor grote aantallen schades, zullen de uiteinden van
de horizontale staven de getekende grafiek van P benaderen.
Bij de getekende grafiek hoort de volgende formule:
Hierin geeft P aan hoeveel procent van alle schadebedragen die van belang zijn
voor de herverzekeraar lager is dan of gelijk aan x euro.
Uit de grafiek van P in de figuur kun je aflezen dat ongeveer 70% van die
schadebedragen, bedragen zijn van ten hoogste 100 000 euro.
113pBereken met behulp van de formule hoeveel procent van de schadebedragen
die van belang zijn voor de herverzekeraar hoger dan 150 000 euro is.
De herverzekeraar wil weten welk minimaal schadebedrag hoort bij de 5%
grootste schades die hij kan verwachten.
124pBereken dit schadebedrag met behulp van de formule.
Een aantal Nederlandse verzekeringsmaatschappijen herverzekert zich bij
Amerikaanse verzekeringsmaatschappijen. Zij werken met dollars en gebruiken
een aangepaste formule van P. De door hen gebruikte formule is afhankelijk van
de wisselkoers van dollar en euro.
Hierin geeft P ook weer aan hoeveel procent van alle schadebedragen die van
belang zijn voor de herverzekeraar lager is dan of gelijk is aan een bepaald
bedrag. Maar in deze formule is dat bedrag, y genoemd, in dollar.
Het verband tussen y en x in beide formules is een evenredig verband: y = a ⋅ x.
134pToon met behulp van beide formules aan dat het verband tussen y en x
inderdaad een evenredig verband is en leg uit wat a in deze situatie betekent.
opgave 4De frikandel van Beckers
Je zou het misschien niet denken, maar 60 jaar
geleden had nog nooit iemand van de frikandel
gehoord. In Nederland werd hoogstens een
knakworst gegeten voor de lekkere trek.
Jan Beckers uit België was het die daar in 1959
verandering in bracht. Hij ontwikkelde een soort
langwerpige gehaktbal die tijdens het frituren niet
uit elkaar viel: de frikandel. Als ingrediënten gebruikte hij een nog altijd geheime
mix van kippen- en varkensvlees, specerijen en andere smaakmakers.
De door Beckers ontworpen snack werd een enorm succes. Zijn fabriek
produceert ongeveer 1,15 miljoen frikandellen per dag, waarvan de helft is
bestemd voor de Nederlandse markt, waar men zo’n 600 miljoen frikandellen per
jaar eet.
144pBereken hoeveel procent van de in Nederland gegeten frikandellen afkomstig is
van de fabriek van Beckers.
Wie een frikandel in de snackbar koopt, krijgt hoogstwaarschijnlijk een
exemplaar van 18,5 centimeter en 85 gram. Dat is de zogenoemde ‘original’. Het
gewicht van deze frikandellen is bij benadering normaal verdeeld met een
gemiddelde van 85,0 gram en een standaardafwijking van 2,4 gram.
153pBereken hoeveel gram de 10% zwaarste frikandellen minimaal wegen.
Beckers produceert ook wat kleinere frikandellen voor verkoop in de supermarkt.
Het gewicht van deze frikandellen is ook weer bij benadering normaal verdeeld.
Ze wegen gemiddeld 70,0 gram.
Volgens de Warenwet mag slechts 2% van deze frikandellen minder dan
65,5 gram wegen.
164pBereken de maximaal toegestane standaardafwijking waarbij aan de eis van de
Warenwet wordt voldaan.
In een doos zitten 12 frikandellen. Van deze 12 frikandellen zijn er 4 lichter dan
70 gram. Iemand pakt willekeurig 4 frikandellen uit deze doos.
174pBereken de kans dat er precies één frikandel lichter dan 70 gram bij dit viertal
zit.
opgave 5Elfstedentocht
De schaatsliefhebbers zullen er niet vrolijk van worden. Een rapport van het
Intergovernmental Panel on Climate Change voorspelt dat in de 21e eeuw de
wereldgemiddelde temperatuur behoorlijk zal stijgen. Deze temperatuurstijging
zal ook Friesland niet voorbijgaan. De vraag is: kunnen we nog een
Elfstedentocht verwachten?
Er kan al een Elfstedentocht verreden worden bij een ijsdikte van 15 cm. In
figuur 1 is van elk jaar van de vorige eeuw de maximale ijsdikte weergegeven.
Je ziet dat er heel wat jaren waren waarin het ijs een dikte had van minstens
15 cm. In theorie zouden er dus heel wat Elfstedentochten mogelijk zijn
geweest. Toch zijn er in werkelijkheid veel minder Elfstedentochten gereden: de
pijltjes markeren de winters waarin er daadwerkelijk een Elfstedentocht1)
geweest is. De oorzaak hiervan ligt in problemen met de kwaliteit van het ijs,
zwak ijs in de steden, bemaling, enzovoort.
figuur 1
Op grond van de gegevens van de vorige eeuw kunnen we, bij een ijsdikte van
minstens 15 cm, de kans p berekenen dat er werkelijk een Elfstedentocht
gereden wordt. Voor deze kans p geldt de formule:
p = aantal werkelijk gereden Elfstedentochten
aantal mogelijke Elfstedentochten
De kans p blijkt ongeveer 0,4 te zijn.
183pBereken p in drie decimalen nauwkeurig.
De ijsdikte in een bepaalde winter is natuurlijk afhankelijk van de temperatuur
tijdens de winter. Deze wintertemperatuur W, de gemiddelde temperatuur
gerekend over een hele winter, zal in de komende jaren behoorlijk stijgen. Men
verwacht dat W in de 21e eeuw in totaal met 3,6 °C stijgt.
Als we uitgaan van lineaire stijging, kunnen we een toenamediagram tekenen
waarbij de toename van W uitgezet wordt tegen het jaar t.
noot 1 Er wordt maximaal één Elfstedentocht per winter gereden.
194puitwerkbijlageTeken in de figuur op de uitwerkbijlage het toenamediagram met stapgrootte 20
(Δt = 20). Kies zelf een geschikte schaalverdeling langs de verticale as.
Figuur 2 laat zien hoe het aantal mogelijke Elfstedentochten per eeuw Em daalt
wanneer de wintertemperatuur stijgt. In figuur 2 kun je bijvoorbeeld aflezen dat,
als de wintertemperatuur in een bepaalde eeuw iedere winter 4,0 °C hoger zou
liggen dan de gemiddelde wintertemperatuur in de 20e eeuw, er maar
5 Elfstedentochten in die eeuw mogelijk zullen zijn.
figuur 2
aantal
mogelijke
Elfstedentochten
per eeuw
De grafiek in figuur 2 kan worden beschreven met de volgende formule:
Em = b ⋅ gS
Hierin is S het verschil in °C tussen de wintertemperatuur in iedere winter en de
gemiddelde wintertemperatuur in de 20e eeuw.
204pHoe groot zijn b en g, uitgaande van bovenstaande gegevens? Licht je antwoord
toe.
Een wiskundige heeft een formule opgesteld voor het aantal te verwachten
Elfstedentochten Ew in de 21e eeuw, waarbij rekening gehouden is met een
geleidelijke toename van de wintertemperatuur in de 21e eeuw en met het feit
dat niet iedere mogelijke Elfstedentocht werkelijk gereden zal worden:
Hierin is V het verschil tussen de wintertemperatuur aan het einde van de
21e eeuw en de gemiddelde wintertemperatuur van de 20e eeuw in oC en p is
de kans op een werkelijk gereden tocht als een Elfstedentocht mogelijk is.
De organisatie van de Elfstedentocht probeert de kans p door nog betere
voorbereidingen te verhogen tot 0,65. Men verwacht dat V 3,6 °C zal zijn.
213pBereken dan het aantal te verwachten Elfstedentochten in de 21e eeuw.
Als we aannemen dat V inderdaad 3,6 °C zal zijn, dan is de formule van Ew te
schrijven in de vorm:
Ew = a ⋅ p
