Eindexamen wiskunde A havo 2006 tijdvak 2 (wiskunde A1,2)

bij dit examen

Fooien In de Verenigde Staten is het gebruikelijk dat je in een restaurant een flinke fooi geeft aan degene die je bedient. Het basisloon is er zeer laag en daardoor is het bedienend personeel veel meer afhankelijk van fooien dan in Nederland. In de Verenigde Staten bestudeerde een onderzoeker welke fooien er gegeven werden bij bijna duizend rekeningen in twee restaurants. In de onderstaande cumulatieve relatieve frequentiepolygonen (figuur 1) zijn de fooien van de twee restaurants A en B verwerkt. Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 1

→ In welk restaurant worden er relatief meer fooien tussen de 6 en de 8 dollar gegeven? Licht je antwoord toe. Met behulp van de klassenmiddens kun je een schatting geven van de gemiddelde fooi in de twee restaurants.

→ Bereken op deze manier de gemiddelde fooi in restaurant A. Hoe hoger de rekening, hoe hoger de fooi, was een resultaat van het onderzoek. Restaurant C is veel duurder dan de restaurants A en B. De rekeningen zijn daar dan ook een stuk hoger en de fooien dus ook. Een fooi onder de 6 dollar komt in restaurant C niet voor, fooien van meer dan 20 dollar komen af en toe voor.

→ Teken in de figuur op de uitwerkbijlage een mogelijk cumulatief relatief frequentiepolygoon voor restaurant C. Uit het onderzoek bleek dat er tussen de fooi F en de hoogte van de rekening R een lineair verband bestaat. De onderzoeker vond de volgende gegevens: • bij een rekening van 20 dollar hoort een fooi van 3,75 dollar; • bij een rekening van 85 dollar hoort een fooi van 12 dollar.

Wiel Bij het wielrennen zie je soms dat wielen van fietsen dicht zijn. Op het normale wiel met spaken is dan een plastic schijf aangebracht. Op een racefiets met dichte wielen kun je harder fietsen dan op een racefiets met open wielen: de luchtwrijving is bij een dicht wiel minder dan bij een open wiel. Dat is onderzocht op de volgende manier. Men laat een dicht wiel en een open wiel vrij draaien. Door de luchtwrijving gaan ze steeds langzamer draaien. Met behulp van een fietscomputer wordt de snelheid van de wielen gemeten. In tabel 1 staan enkele meetgegevens voor een open wiel. open wiel t 0 20 40 60 80 100 120 V 30,0 23,5 18,4 14,5 11,3 8,9 7,0 tabel 1 Hierin is t de tijd in seconden en V de snelheid in kilometer per uur. Het wiel heeft een beginsnelheid van 30 km/uur gekregen. De snelheid neemt bij benadering exponentieel af.

→ Bereken met behulp van de tabel het percentage waarmee de snelheid per 10 seconden afneemt. Een dicht wiel en een open wiel krijgen een beginsnelheid van 20 km/uur. We laten de wielen drie minuten draaien. Hierbij passen de volgende formules: Dicht wiel: V dicht = 20 ⋅ 0,9920 t Open wiel: V open = 20 ⋅ 0,9879 t In beide formules is t in seconden en V in kilometer per uur. In figuur 2 zijn de grafieken getekend van deze formules voor de eerste twee minuten. figuur 2 Op een zeker moment is de snelheid van een wiel half zo groot geworden. Bij het dichte wiel is dat later dan bij het open wiel. In figuur 2 is met een pijl aangegeven hoe groot het verschil in tijd is.

→ Bereken met behulp van de formules dit verschil in tijd in seconden. Beide wielen krijgen op hetzelfde moment een snelheid van 20 km/uur en we laten ze weer drie minuten draaien. Het dichte wiel heeft steeds een hogere snelheid.

Muntenrij Je gooit vijf keer met een muntstuk. Als je kop gooit, schrijf je een K op en als je munt gooit een M. Je kunt dan een rijtje krijgen zoals in figuur 3. Zo’n rijtje met de letters K en M noemen we een muntenrij . figuur 3

opgave 1K M M K M

Ga er in deze opgave steeds van uit dat de kans op kop gooien en de kans op munt

gooien even groot zijn.

Tom denkt dat vijf keer achter elkaar kop gooien (dus de muntenrij K K K K K)

veel onwaarschijnlijker is dan de muntenrij K M M K M van figuur 3.

83p

Is de kans op de muntenrij K K K K K kleiner dan de kans op de muntenrij

K M M K M? Licht je antwoord toe.

In de muntenrij van figuur 3 komt twee keer K en drie keer M voor. Er zijn

verschillende muntenrijen mogelijk met twee keer K en drie keer M.

93p

Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn.

Tom gooit net zo lang met een muntstuk tot hij drie keer achter elkaar munt heeft

gegooid.

In de muntenrij van figuur 4 lukte dat pas na elf keer gooien.

figuur 4

Tom begint met een nieuwe muntenrij. Hij stopt zodra hij M M M gegooid heeft,

dus zodra hij drie keer achter elkaar munt heeft gegooid.

104p

Bereken de kans dat Tom na 5 keer gooien voor het eerst M M M achter elkaar

ziet staan in zijn muntenrij.

Herma komt op bezoek bij Tom. Herma daagt Tom uit voor een spelletje.

Eerst mag Tom een rijtje met drie letters (bestaande uit K’s en/of M’s) kiezen.

Daarna kiest Herma een ander rijtje met drie letters.

Dan wordt er met een muntstuk gegooid. Degene wiens rijtje van drie het eerst

voorkomt in de muntenrij, wint het spelletje. Het muntstuk wordt net zo lang

gegooid tot er iemand gewonnen heeft.

Tom kiest het rijtje M M M, want dat valt gemakkelijk op in een lange muntenrij.

Herma kiest daarna het rijtje K M M.

Dat is heel slim van Herma, want zodra er kop is gegooid, kan Tom nooit meer

winnen.

113p

Leg uit dat Tom nooit meer kan winnen zodra er kop is gegooid.

De enige mogelijkheid voor Tom om te winnen is dus dat er meteen vanaf het

begin van het spelletje drie keer munt wordt gegooid.

124p

Toon aan dat de kans dat Herma het spelletje wint zeven keer zo groot is als de

kans dat Tom het spelletje wint.

opgave 2Voorraadkosten

FuelMaster produceert benzinepompen, die gebruikt worden door tankstations.

In elke benzinepomp zit een pomp. FuelMaster heeft elk jaar 40 000 pompen nodig

voor zijn productie. FuelMaster bestelt zijn pompen bij PumpTech.

De bestelkosten bedragen 0,50 euro per pomp plus 300 euro per bestelling.

133p

Bereken de jaarlijkse bestelkosten als er 4000 pompen per bestelling geleverd

worden.

FuelMaster wil altijd minimaal 1600 pompen in voorraad hebben (dat is een

reservevoorraad voor zo’n twee weken productie).

Voor het aantal pompen dat FuelMaster op enig moment in voorraad heeft, is een

model opgesteld. Zie daarvoor de schets in figuur 5. De productie en dus ook het

verbruik van de pompen is gelijkmatig over het jaar verdeeld. Elke bestelling

wordt afgeleverd op het moment dat de voorraad nog 1600 stuks groot is.

Het aantal pompen dat FuelMaster per keer bij PumpTech bestelt, noemen we A.

Voor het in voorraad houden van de pompen heeft FuelMaster ook kosten. Het in

voorraad houden van één pomp kost 6 euro per jaar.

De jaarlijkse voorraadkosten kunnen berekend worden door de gemiddelde

voorraad pompen te vermenigvuldigen met de jaarlijkse kosten per pomp.

We gaan er nog even van uit dat er 4000 pompen per bestelling geleverd worden.

143p

Laat zien dat de jaarlijkse voorraadkosten dan 21 600 euro bedragen.

De afdeling inkoop van FuelMaster onderzoekt bij welke bestelgrootte de

jaarlijkse kosten voor het bestellen en in voorraad houden zo laag mogelijk zijn.

Men heeft daarvoor de volgende formule opgesteld:

K = 29600

Hierin is K het totaal van de jaarlijkse bestel- en voorraadkosten in euro en A het

aantal pompen dat per keer besteld wordt.

Zoals je aan de formule kunt zien, zijn de jaarlijkse kosten altijd hoger dan

29 600 euro.

153p

Onderzoek uit welke vaste bedragen deze 29 600 euro is opgebouwd.

De formule voor K kan ook geschreven worden als:

K = 29600 +12000000⋅ A⁻¹ + 3A

Voor een zekere waarde van A zal K een minimum hebben.

165p

Stel de afgeleide van K op en bereken met behulp daarvan de bestelgrootte A

waarbij K minimaal is.

opgave 3Platvissen

Er bestaan diverse soorten platvissen,

bijvoorbeeld schollen en tongen. In de

afbeelding hiernaast zie je een schol.

De lengte van 8 jaar oude, vrouwelijke

schollen is bij benadering normaal

verdeeld. De gemiddelde lengte is

30,8 cm en de standaardafwijking is

4,6 cm.

173p

Bereken hoeveel procent van deze 8 jaar

oude vrouwtjesschollen langer is dan 33 cm.

De lengte van de mannetjesschollen van 8 jaar oud is ook bij benadering normaal

verdeeld. Ze hebben een gemiddelde lengte van 27,4 cm.

Deze mannetjesschollen zijn kleiner dan de 8 jaar oude vrouwtjesschollen. Slechts

5% van deze mannetjes is langer dan 33 cm.

184p

Bereken de standaardafwijking van de lengte van de 8 jaar oude

mannetjesschollen. Rond je antwoord af op 1 decimaal.

In de Beringzee is het onderzoekers van het Alaska Fisheries Science Center

gelukt de groei en ontwikkeling van vrouwelijke schollen over een lange periode

te volgen. Deze schollen kunnen maar liefst 30 jaar oud worden.

Hieronder staan twee grafieken met informatie over deze schollen.

In figuur 6 zie je het verband tussen de leeftijd en de lengte.

In figuur 7 zie je het verband tussen de lengte en het gewicht.

600 lengte (mm) 500 400 300 200 100 0 0 4 8 12 16 20 24 28 32 leeftijd in jaren 3000 gewicht 2500 (g) 2000 1500 1000 500 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 lengte (cm)

figuur 6

figuur 7

De twee grafieken staan vergroot op de uitwerkbijlage.

Door deze grafieken te combineren, is te achterhalen wat het gewicht is van een

vrouwtjesschol als je de leeftijd kent.

193puitwerkbijlage

Wat is het gewicht van een vrouwtjesschol van 14 jaar oud? Licht je antwoord toe

met behulp van de grafieken op de uitwerkbijlage.

Ook bij de tong neemt het gewicht toe met de leeftijd. De onderzoekers in Alaska

vonden dat het gewicht van de tong wordt benaderd door de formule:

W = 2,867 ⋅ (1− 0,93⋅ 0,9094^t)³

Hierin is W het gewicht in kilogram en t de leeftijd in jaren.

203p

Bereken de leeftijd in jaren van een tong van 1,5 kg.

Een cohort vissen is een groep vissen van één soort die vrijwel tegelijk zijn

geboren.

De biomassa B van een cohort vissen is het totale gewicht (in kg) van die vissen.

Voor het cohort van 1000 tongen is een formule opgesteld voor het aantal nog

levende tongen N na t jaren:

N = 1000 ⋅ 0,9048^t

Voor de biomassa B geldt dus B = N ⋅ W.

Het aantal tongen in het cohort neemt ieder jaar af, maar de tongen zelf worden

steeds zwaarder.

Na 7 jaar ligt de biomassa van dit cohort in de buurt van 200 kg.

213p

Toon dit met een berekening aan.

Naarmate de tijd verstrijkt, neemt het aantal tongen dus af maar neemt hun

gewicht toe. De biomassa zal eerst toenemen, maar later weer afnemen.

224p

Bereken de maximale biomassa van het cohort tongen.

Eindexamen wiskunde A havo 2006, tijdvak 2 (wiskunde A1,2)